РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1641 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: III

Тригонометрические уравнения

Найдите произведение наименьшего корня (в градусах) на количество различных корней уравнения $синус 12x= косинус 54 градусов$ на промежутке (−45°; 45°).

Решение. Воспользуемся формулой приведения и решим уравнение:

$синус 12x= косинус 54 градусов равносильно синус 12x= косинус левая круглая скобка 90 градусов минус 54 градусов правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус 12x= синус 36 градусов равносильно$ $синус 12x= косинус 54 градусов равносильно$
$равносильно синус 12x= косинус левая круглая скобка 90 градусов минус 54 градусов правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус 12x= синус 36 градусов равносильно$

$равносильно совокупность выражений 12x=36 градусов плюс 360 градусов k,180 градусов минус 12x=36 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=3 градусов плюс 30 градусов k, минус 12x= минус 144 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3 градусов плюс 30 градусов k,x=12 градусов плюс 30 градусов k,k принадлежит Z . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений 12x=36 градусов плюс 360 градусов k,180 градусов минус 12x=36 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=3 градусов плюс 30 градусов k, минус 12x= минус 144 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=3 градусов плюс 30 градусов k,x=12 градусов плюс 30 градусов k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

Найдем корни уравнения на необходимом промежутке с помощью двойных неравенств:

1) $минус 45 градусов меньше 3 градусов плюс 30 градусов k меньше 45 градусов равносильно$
$равносильно минус 48 градусов меньше 30 градусов k меньше 42 градусов равносильно минус дробь: числитель: 48, знаменатель: 30 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: 42, знаменатель: 30 конец дроби \undersetk принадлежит Z \mathop равносильно$

$\undersetk принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k= минус 1,k=1, k=0. конец совокупности .$

2) $минус 45 градусов меньше 12 градусов плюс 30 градусов k меньше 45 градусов равносильно$
$равносильно минус 57 градусов меньше 30 градусов k меньше 33 градусов равносильно минус дробь: числитель: 57, знаменатель: 30 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: 33, знаменатель: 30 конец дроби \undersetk принадлежит Z \mathop равносильно$

$\undersetk принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k= минус 1,k=0,k=1. конец совокупности .$

Всего корней на необходимом промежутке 6. В случае 1) это корни: $3 градусов плюс 30 градусов умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 27 градусов,3 градусов плюс 30 градусов умножить на 1=33 градусов$ и $3 градусов плюс 30 градусов умножить на 0=3 градусов,$ в случае 2) это корни: $12 градусов плюс 30 градусов умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 18 градусов,12 градусов плюс 30 градусов умножить на 1=42 градусов$ и $12 градусов плюс 30 градусов умножить на 0=12 градусов.$ Наименьший из корней  — $минус 27 градусов.$

Итак, $6 умножить на левая круглая скобка минус 27 правая круглая скобка = минус 162.$

Ответ: −162.

Ответ: -162

1641

-162

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1641	-162